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<title>Besselsche Elemente</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Besselsche Elemente</h1>

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</div>

Die Besselschen Elemente sind geometrische Größen, die <a href="Friedrich_Wilhelm_Bessel" title="Friedrich Wilhelm Bessel">Friedrich Wilhelm Bessel</a> einführte, um die lokalen Gegebenheiten bei einer <a href="Sonnenfinsternis" title="Sonnenfinsternis">Sonnenfinsternis</a> an einem Beobachtungsort auf der Erde zu beschreiben. Neben Sonnenfinsternissen kann das damit verbundene Prinzip auch bei <a href="Okkultation" title="Okkultation">Stern- oder Planetenbedeckungen</a> durch den <a href="Mond" title="Mond">Mond</a> sowie den <a href="Planetentransit" title="Planetentransit">Transiten</a> von <a href="Venus_(Planet)" title="Venus (Planet)">Venus</a> und <a href="Merkur_(Planet)" title="Merkur (Planet)">Merkur</a> vor der Sonne verwendet werden. Die bei <a href="Mondfinsternis" title="Mondfinsternis">Mondfinsternissen</a> vorgenommenen Berechnungen ähneln der Berechnung der Besselschen Elemente, wobei in diesem Fall der Schatten nicht auf die Erde, sondern auf den Mond fällt.

Bei Sonnenfinsternissen kann beispielsweise basierend auf den Besselschen Elementen die Bedeckungsdauer an einem bestimmten Ort ermittelt werden, oder es ist der Pfad bestimmbar, auf dem der Kernschatten des Mondes die <a href="Erdoberfl%C3%A4che" title="Erdoberfläche">Erdoberfläche</a> überstreicht. Dieses Berechnungsverfahren wurde 1829 durch Bessel entwickelt und später von <a href="William_Chauvenet" title="William Chauvenet">William Chauvenet</a> verfeinert.

Die grundlegende Idee des Verfahrens ist, dass die Besselschen Elemente die Bewegung des Schattens wiedergeben, den der bedeckenden Himmelskörper – bei Sonnenfinsternissen ist dies der Mond – auf einer gedachten Fundamentalebene verursacht. Bei dieser handelt es sich um die geozentrische <a href="Normalebene" class="mw-redirect" title="Normalebene">Normalebene</a> der Schattenachse, in der der Erdmittelpunkt liegt und die senkrecht auf der Achse des Schattenkegels steht. Letzteres ist die Gerade, die durch die Zentren des bedeckten und des bedeckenden Himmelskörpers geht.<a href="#cite_note-MuckeMeeus1992-1">[1]</a>

Zur Beschreibung der Bewegung des Schattens in dieser geeignet gewählten Ebene ist die Angabe vergleichsweise weniger Größen ausreichend – bei hinreichender Genauigkeit. Dies liegt nicht zuletzt daran, dass der Schatten während des gesamten Finsternisverlaufs in dieser Ebene immer kreisförmig ist und keiner perspektivischen Verzerrung unterliegt.<a href="#cite_note-Altmann-2">[2]</a> In einem zweiten Schritt werden die Werte für die Erdoberfläche errechnet, in dem die <a href="Schnittkurve" title="Schnittkurve">Schnittkurven</a> der Schattenkegel mit der Erdoberfläche bestimmt werden, wobei erst dann die annähernde Kugelform der Erde, die <a href="Erddrehung" class="mw-redirect" title="Erddrehung">Erddrehung</a> sowie die Lage und Höhe des Beobachtungsorts berücksichtigt werden müssen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Dieses Verfahren, Stern- und Planetenbedeckungen sowie Sonnenfinsternisse zu beschreiben, wurde vom deutschen Wissenschaftler <a href="Friedrich_Wilhelm_Bessel" title="Friedrich Wilhelm Bessel">Friedrich Wilhelm Bessel</a> in den 1820er Jahren ausgearbeitet. Die erste Arbeit Bessels zum Thema Sternbedeckungen findet sich in den <a href="Astronomische_Nachrichten" title="Astronomische Nachrichten">Astronomischen Nachrichten</a> Nr. 50 aus dem Jahre 1824, in der er einige Berechnungen auf Basis zuvor beobachteter Sternbedeckungen anstellte.<a href="#cite_note-3">[3]</a> Im Jahr 1829 veröffentlichte er eine verallgemeinernde Arbeit Ueber die Vorausberechnung der Sternbedeckungen in den Astronomischen Nachrichten Nr. 145.<a href="#cite_note-4">[4]</a> Noch im selben Jahr entwickelte er die Idee weiter, indem er das Verfahren mit dem Ziel der Anwendung für Planetenbedeckungen und Sonnenfinsternisse verallgemeinerte.<a href="#cite_note-Bessel182901-5">[5]</a><a href="#cite_note-6">[6]</a>

Bis zu diesem Zeitpunkt wurden zur Berechnung zwei unabhängige Verfahren mit unterschiedlichen Zielen verwendet. Das erste Verfahren diente der Bestimmung der Gegebenheiten, wie sie sich einem Beobachter an einem konkreten Ort darstellten. Die hierbei verwendete Methode ging bereits auf <a href="Johannes_Kepler" title="Johannes Kepler">Johannes Kepler</a> zurück und war später von <a href="J%C3%A9r%C3%B4me_Lalande" title="Jérôme Lalande">Jérôme Lalande</a> und <a href="Johann_Gottlieb_Friedrich_von_Bohnenberger" title="Johann Gottlieb Friedrich von Bohnenberger">Johann Gottlieb Friedrich von Bohnenberger</a> weiterentwickelt worden. Das zweite Verfahren, das auf <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a> zurückzuführen ist, diente der Berechnung des Zeitpunktes der <a href="Konjunktion_(Astronomie)" title="Konjunktion (Astronomie)">Konjunktion</a>. Da sich dieses Verfahren auf den Erdmittelpunkt bezog und keine Aussage über lokale Gegebenheiten auf der Erdoberfläche machen konnte, wurde es zur Berechnung von Finsternissen weniger häufig angewandt als das erste. Es vereinfachte jedoch viele andere astronomische Berechnungen. Bessels Ansatz bestand nun darin, Lagranges Verfahren so weiterzuentwickeln, dass damit auch die Berechnung der lokalen Gegebenheiten möglich wurde, womit er eine Kombination beider Verfahren erreichte.<a href="#cite_note-Bessel182901-5">[5]</a>

Im zweiten Band seiner Astronomischen Untersuchungen veröffentlichte Bessel 1842 eine vier Abschnitte umfassende Abhandlung mit dem Titel Analyse der Finsternisse. Darin fasste er seine bisher veröffentlichten Arbeiten zu diesem Thema zusammen und rundete sie durch einige Ergänzungen ab.<a href="#cite_note-Bessel1842-7">[7]</a> Diese Veröffentlichung diente als Grundlage für viele Astronomen, die sich später mit diesem Thema auseinandersetzten. <a href="Peter_Andreas_Hansen" title="Peter Andreas Hansen">Peter Andreas Hansen</a> verwendete in seinem 1858 veröffentlichten Werk Theorie der Sonnenfinsternisse und verwandter Erscheinungen abweichend von Bessel die <a href="Schnittgerade" title="Schnittgerade">Schnittgerade</a> der <a href="Ekliptik" title="Ekliptik">Ekliptik</a> mit der Fundamentalebene als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Achse. Bessels Variante, die Verwendung der Äquatorebene statt der Ekliptik, besaß jedoch einige Vorteile, wie 1863 der amerikanische Astronom <a href="William_Chauvenet" title="William Chauvenet">William Chauvenet</a> hervorhob. Er folgte in seinem Manual of Spherical and Practical Astronomy größtenteils dem Verfahren Bessels, entwickelte aber für einige Teilprobleme eigene Lösungsansätze. Chauvenets Darstellung war daraufhin die Basis für viele weitere Entwicklungen auf diesem Gebiet.<a href="#cite_note-8">[8]</a>

Wenn auch die Berechnungen von Finsternissen nicht mehr manuell, sondern elektronisch erfolgen, haben die Besselschen Elemente ihre Bedeutung nicht verloren. Im Gegenteil, sie stellen das Bindeglied zwischen den Berechnungen des Zeitpunkts des Auftretens einer Finsternis sowie den Berechnungen der lokalen Gegebenheiten dar. Viele Computerprogramme sind auf eine der beiden Berechnungen spezialisiert, wobei die Besselschen Elemente sozusagen als <a href="Schnittstelle" title="Schnittstelle">Schnittstelle</a> fungieren.<a href="#cite_note-9">[9]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Sonnenfinsternisse">Sonnenfinsternisse</h2></div>

Die an einem Ort auf der Erdoberfläche beobachtbare gegenseitigen Bedeckung von <a href="Gestirn" title="Gestirn">Gestirnen</a> hängt von den Bahndaten des bedeckten entfernteren sowie des bedeckenden näheren ab. Diese Daten (<a href="Ephemeriden" title="Ephemeriden">Ephemeriden</a>) werden üblicherweise als Winkel <a href="Rektaszension" title="Rektaszension">Rektaszension</a> und <a href="Deklination_(Astronomie)" title="Deklination (Astronomie)">Deklination</a> angegeben. Diese Winkel beziehen sich als <a href="Geozentrische_Koordinaten" class="mw-redirect" title="Geozentrische Koordinaten">geozentrische Koordinaten</a> auf den Erdmittelpunkt, so dass aus ihnen nicht direkt die Gestirnsbedeckung zu entnehmen ist, die an einem bestimmten Punkt der Erdoberfläche zu beobachten ist.

Um eine Bedeckung in einem Punkt auf der Erdoberfläche zu beschreiben, müssen die aus Tafeln entnommenen oder anderweitig bekannten Bahndaten der beiden Himmelskörper umgerechnet werden. Die Besselschen Elemente dienen der Beschreibung des Verlaufs sowie der Größe des Kern- und Halbschattens in der Fundamentalebene. Es ist einerseits nicht schwierig, den Verlauf des Schattens in dieser Ebene ausgehend von den Bahndaten der Himmelskörper zu beschreiben, zum anderen ist auch eine recht einfache Umrechnung auf einen Beobachtungspunkt möglich. Für letztere Umrechnung enthalten die Besselschen Elemente auch Angaben, wie die Fundamentalebene gegenüber dem <a href="Nullmeridian" title="Nullmeridian">Nullmeridian</a> und der <a href="%C3%84quatorebene" class="mw-redirect" title="Äquatorebene">Äquatorebene</a> verdreht ist.

Die Bedeckung der Sonne durch den Mond stellt im Hinblick auf die Beschreibung der Gegebenheiten auf der Erde den kompliziertesten <a href="Okkultation" title="Okkultation">Okkultationstyp</a> dar, da sowohl der bedeckte Körper – die Sonne – als auch der bedeckende Körper – der Mond – nicht zu vernachlässigende <a href="Sehwinkel" title="Sehwinkel">Sehwinkel</a> haben. Zudem muss die <a href="Scheinbar_(Astronomie)" title="Scheinbar (Astronomie)">scheinbare</a> Bewegung der Sonne während der Bedeckung berücksichtigt werden.<a href="#cite_note-Green18.9-10">[10]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_der_Besselschen_Elemente">Definition der Besselschen Elemente</h3></div>

Zunächst wird ein <a href="Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">rechtwinkliges Koordinatensystem</a> eingeführt, das als fundamentales oder Besselsches Koordinatensystem bezeichnet wird. Dabei wird von der Schattenachse ausgegangen, der <a href="Verbindungsgerade" title="Verbindungsgerade">Verbindungsgeraden</a> des Zentrums von Sonne und Mond. Die <a href="Parallel_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Parallel (Geometrie)">Parallele</a> der Schattenachse, die durch den Erdmittelpunkt geht, stellt die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">-Achse des Besselschen fundamentalen Koordinatensystems dar und folgt ständig dem Schatten, das Koordinatensystem dreht sich also mit der Richtung der Schattenachse. Die Fundamentalebene steht im Erdmittelpunkt senkrecht auf dieser Achse. In der Fundamentalebene wird die Position und Größe des Kern- und Halbschattens mittels der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">- und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Koordinate beschrieben. Die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Achse ist dabei die Schnittgerade der Fundamentalebene mit der Äquatorebene und weist nach Osten, die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Achse weist nach Norden.

Die ersten beiden Größen der Besselschen Elemente sind die Koordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> des Schnittpunkts der Schattenachse mit der Fundamentalebene. Die Richtung der Schattenachse – die der Richtung der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">-Achse entspricht – wird durch die <a href="Deklination_(Astronomie)" title="Deklination (Astronomie)">Deklination</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"> und den Ephemeriden<a href="Stundenwinkel" title="Stundenwinkel">stundenwinkel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> angegeben. Der Radius des Halbschattenkegels in der Fundamentalebene wird durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29b25eeca673386d676f79dce674fe93040693eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.748ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l_{1}}" loading="lazy"> beschrieben, der des Kernschattenkegels durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84708bbc21c20c9834e0e57746dbbc437414c350.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.748ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l_{2}}" loading="lazy">. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84708bbc21c20c9834e0e57746dbbc437414c350.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.748ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l_{2}}" loading="lazy"> ist dabei für eine totale Finsternis negativ, für eine ringförmige positiv.<a href="#cite_note-MuckeMeeus1992-1">[1]</a> Die Werte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29b25eeca673386d676f79dce674fe93040693eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.748ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84708bbc21c20c9834e0e57746dbbc437414c350.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.748ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l_{2}}" loading="lazy"> werden in der Regel in Einheiten des <a href="%C3%84quatorradius" class="mw-redirect" title="Äquatorradius">Äquatorradius</a> der Erde angegeben.

Neben diesen sechs Größen, die sich im Verlauf der Finsternis ändern, gibt es noch zwei weitere Größen, die als konstant betrachtet werden können: Die Größen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan f_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan f_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c66ea4aaa3d1ecf4fe0c0127dac28a7548c35c92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.94ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \tan f_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan f_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan f_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b92b03ae58a79a9a8d3d14f4445a5cab506da1e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.94ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \tan f_{2}}" loading="lazy"> definieren die halben Öffnungs<a href="Winkel" title="Winkel">winkel</a> des Halb- bzw. Kernschatten<a href="Kegel_(Geometrie)" title="Kegel (Geometrie)">kegels</a>.<a href="#cite_note-MuckeMeeus1992-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Berechnung_der_Besselschen_Elemente">Berechnung der Besselschen Elemente</h3></div>

Die für Sonnenfinsternisse verwendeten Besselschen Elemente gehen aus vom zeitlichen Verlauf der geozentrischen Positionen von Sonne und Mond, die über deren <a href="Ephemeriden" title="Ephemeriden">Ephemeriden</a> verfügbar sind.<a href="#cite_note-11">[A 1]</a><a href="#cite_note-Seidelmann8.12-12">[11]</a> Eine Möglichkeit zur Berechnung des Auftretens von Sonnenfinsternissen ist, die Positionen von Sonne und Mond sofort in das fundamentale Koordinatensystem umzurechnen.<a href="#cite_note-Seidelmann8.32-13">[12]</a> Dann kann recht leicht ermittelt werden, ob und wann die Schattenachse die Fundamentalebene innerhalb des Erdglobus durchstößt – was bedeutet, dass sich eine zentrale, also totale oder ringförmige Finsternis ereignet.

Es gibt andere Möglichkeiten, das Auftreten von Sonnenfinsternissen zu berechnen, beispielsweise über die <a href="Finsternis-Limite" class="mw-redirect" title="Finsternis-Limite">Finsternis-Limite</a>. Aber auch in diesem Fall müssen die Positionen von Sonne und Mond für den Finsternisverlauf in das fundamentale Koordinatensystem umgerechnet werden, um auf Basis der Besselschen Elemente lokale Gegebenheiten an jedem Ort der Erde berechnen zu können.<a href="#cite_note-Green18.6-14">[13]</a><a href="#cite_note-15">[14]</a>

Basierend auf den geozentrischen Koordinaten und den Entfernungen von Sonne und Mond können die Besselschen Elemente für einen bestimmten Zeitpunkt berechnet werden. Aus <a href="Deklination_(Astronomie)" title="Deklination (Astronomie)">Deklination</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> und <a href="Rektaszension" title="Rektaszension">Rektaszension</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> sowie der Entfernung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> lassen sich zunächst die <a href="Ortsvektor" title="Ortsvektor">Ortsvektoren</a> von Sonne und Mond wie folgt bestimmen:<a href="#cite_note-Green18.6-14">[13]</a>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} _{s}=r_{s}{\begin{pmatrix}\cos \alpha _{s}\cos \delta _{s}\\\sin \alpha _{s}\cos \delta _{s}\\\sin \delta _{s}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60a69a5bbc7cff6ae304427cec1fe10352e9c527.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:23.984ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} _{s}=r_{s}{\begin{pmatrix}\cos \alpha _{s}\cos \delta _{s}\\\sin \alpha _{s}\cos \delta _{s}\\\sin \delta _{s}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

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</mtd>

</mtr>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {r} _{m}=r_{m}{\begin{pmatrix}\cos \alpha _{m}\cos \delta _{m}\\\sin \alpha _{m}\cos \delta _{m}\\\sin \delta _{m}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a27d3d0c61e05f094c64c6665c87b438ba622e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:26.671ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {r} _{m}=r_{m}{\begin{pmatrix}\cos \alpha _{m}\cos \delta _{m}\\\sin \alpha _{m}\cos \delta _{m}\\\sin \delta _{m}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Als Einheit für die Entfernungen dient üblicherweise der Äquatorradius der Erde. In der Literatur wird die Entfernung häufig durch die <a href="Horizontalparallaxe" title="Horizontalparallaxe">Parallaxe</a> ausgedrückt, die den Ephemeridentafeln entnommen werden kann. Da die Parallaxe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> sich auf den Erdradius als Basis bezieht, kann die Entfernung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> in Einheiten des Äquatorradius durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=1/\sin P}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=1/\sin P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a842089aba0b3c061dcc9e02a9031e8299b72f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.847ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r=1/\sin P}" loading="lazy"> berechnet werden.

Im Folgenden werden als erste der Besselschen Elemente die Deklination <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"> und der Ephemeriden<a href="Stundenwinkel" title="Stundenwinkel">stundenwinkel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> berechnet, also die <a href="%C3%84quatorialkoordinaten" class="mw-redirect" title="Äquatorialkoordinaten">Äquatorialkoordinaten</a> der Richtung der Schattenachse. Statt des Stundenwinkels wird hierbei zunächst die <a href="Rektaszension" title="Rektaszension">Rektaszension</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> berechnet, aus dieser kann der Stundenwinkel mittels der Formel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu =\theta -a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu =\theta -a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30e0b66cc730fdde8713c42fc317c31c0e528c93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.661ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu =\theta -a}" loading="lazy"> ermittelt werden, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }" loading="lazy"> der auf <a href="Royal_Greenwich_Observatory" title="Royal Greenwich Observatory">Greenwich</a> bezogenen <a href="Sternzeit" title="Sternzeit">Sternzeit</a> entspricht.

Zur Umrechnung in das fundamentale Koordinatensystem werden die <a href="Einheitsvektor" title="Einheitsvektor">Einheitsvektoren</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {i} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {i} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc909dd0c91a68cdb9cda4ae133fa1f82c987c01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.742ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {i} }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {j} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {j} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca5d874dbb32b8b33e83ca521f592808387a486e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.164ex; width:0.98ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {j} }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {k} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {k} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ea699cbc1f843f2e855577d57529430ec33a1ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.411ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {k} }" loading="lazy">, die in Richtung der Koordinatenachsen dieses Koordinatensystems zeigen, mittels der beiden Größen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ausgedrückt:<a href="#cite_note-Green18.6-14">[13]</a>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

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</mtable>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

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</mtable>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

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</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {i} ={\begin{pmatrix}-\sin a\\\cos a\\0\end{pmatrix}};\quad \quad \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}-\cos a\sin d\\-\sin a\sin d\\\cos d\end{pmatrix}};\quad \quad \mathbf {k} ={\begin{pmatrix}\cos d\cos a\\\cos d\sin a\\\sin d\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92f0b51848fb437bc124129891d36e6d56aad29c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:66.344ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {i} ={\begin{pmatrix}-\sin a\\\cos a\\0\end{pmatrix}};\quad \quad \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}-\cos a\sin d\\-\sin a\sin d\\\cos d\end{pmatrix}};\quad \quad \mathbf {k} ={\begin{pmatrix}\cos d\cos a\\\cos d\sin a\\\sin d\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Da die Richtung der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">-Achse der Differenz der Ortsvektoren vom Erdmittelpunkt zu Sonne und Mond entspricht, lässt sich der Einheitsvektor in Richtung der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">-Achse auch wie folgt ausdrücken:

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {\mathbf {r} _{s}-\mathbf {r} _{m}}{|\mathbf {r} _{s}-\mathbf {r} _{m}|}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5de1ceec578ea3e40f6bd83f1b3abee1217dfc00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:14.362ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {\mathbf {r} _{s}-\mathbf {r} _{m}}{|\mathbf {r} _{s}-\mathbf {r} _{m}|}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Durch Gleichsetzen der beiden Darstellungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {k} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {k} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ea699cbc1f843f2e855577d57529430ec33a1ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.411ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {k} }" loading="lazy"> lassen sich nun <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> und somit alle Einheitsvektoren des fundamentalen Koordinatensystems bestimmen.

Unter Verwendung dieser Einheitsvektoren können nun die Koordinaten von Sonne und Mond in diesem Koordinatensystem bestimmt werden. Aufgrund der Definition der Fundamentalebene sind die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">- und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Koordinaten von Sonne und Mond identisch. Diese stellen gleichzeitig den Schnittpunkt der Schattenachse mit der Fundamentalebene dar und sind die nächsten ermittelten Besselschen Elemente. Weiterhin wird die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">-Koordinate des Mondes bestimmt, da diese für die Berechnung der Schattenradien benötigt wird.<a href="#cite_note-Green18.6-14">[13]</a>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {i} =r_{m}\cos \delta _{m}\sin \left(\alpha _{m}-a\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2419e3d7bfb643cf65917ca835ca086e6c8180f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.326ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {i} =r_{m}\cos \delta _{m}\sin \left(\alpha _{m}-a\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {j} =r_{m}\left(\sin \delta _{m}\cos d-\cos \delta _{m}\sin d\cos \left(\alpha _{m}-a\right)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0981bf8565d42f89642031fbd5772df51f7b677.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:55.029ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {j} =r_{m}\left(\sin \delta _{m}\cos d-\cos \delta _{m}\sin d\cos \left(\alpha _{m}-a\right)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{m}=\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {k} =r_{m}\left(\sin \delta _{m}\sin d+\cos \delta _{m}\cos d\cos \left(\alpha _{m}-a\right)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9e37865bc4c7c07b59fca9998abf3d30afc66f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:57.224ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z_{m}=\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {k} =r_{m}\left(\sin \delta _{m}\sin d+\cos \delta _{m}\cos d\cos \left(\alpha _{m}-a\right)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Winkel zwischen der Schattenachse und den Tangenten an Sonne und Mond, die die Kegelmäntel des Halb- und Kernschattens bilden, können mittels eines Hilfsdreiecks ermittelt werden. Dabei werden die Tangenten <a href="Parallelverschiebung" title="Parallelverschiebung">parallel verschoben</a>, so dass sie durch den Mondmittelpunkt gehen (siehe Abbildung rechts). <a href="Hypotenuse" class="mw-redirect" title="Hypotenuse">Hypotenuse</a> beider Dreiecke ist die Verbindungslinie des Sonnen- und Mondmittelpunkts, die Gegen<a href="Kathete" class="mw-redirect" title="Kathete">katheten</a> der gesuchten Winkel bilden die auf den parallel verschobenen Tangenten rechtwinklig stehenden Strecken durch den Sonnenmittelpunkt. In diesen rechtwinkligen Dreiecken ist jeweils die Länge zweier Seiten bekannt, zum einen die Entfernung zwischen Sonne und Mond, zum anderen die Länge der Gegenkathete, die beim Halbschatten der Summe aus Sonnen- und Mondradius entspricht, beim Kernschatten der Differenz dieser beiden Größen. Somit gilt:<a href="#cite_note-Green18.6-14">[13]</a>

<msub>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin f_{1}={\frac {\rho _{s}+\rho _{m}}{|\mathbf {r} _{s}-\mathbf {r} _{m}|}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92b38d11bdb9682dd5863368e6e103ca9ef814d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:18.387ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \sin f_{1}={\frac {\rho _{s}+\rho _{m}}{|\mathbf {r} _{s}-\mathbf {r} _{m}|}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

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</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin f_{2}={\frac {\rho _{s}-\rho _{m}}{|\mathbf {r} _{s}-\mathbf {r} _{m}|}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41f420a009bf41600f1b722081188775ea48c0c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:18.387ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \sin f_{2}={\frac {\rho _{s}-\rho _{m}}{|\mathbf {r} _{s}-\mathbf {r} _{m}|}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Um die letzten beiden noch fehlenden Besselschen Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29b25eeca673386d676f79dce674fe93040693eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.748ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84708bbc21c20c9834e0e57746dbbc437414c350.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.748ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l_{2}}" loading="lazy"> zu errechnen, die Radien von Halb- und Kernschatten in der Fundamentalebene, wird der Abstand der Schnittpunkte der Tangenten mit der Schattenachse von der Fundamentalebene benötigt. Für den Halbschatten liegt dieser mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/adfdbc929f16cb00bb43289c223651b41f7b9f80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.409ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{1}}" loading="lazy"> bezeichnete Punkt auf der Schattenachse zwischen Sonne und Mond und stellt die Spitze des Halbschattenkegels dar. Der Schnittpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ceaa689a894f5020a7b46177d201cbce2d41122b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.409ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{2}}" loading="lazy"> liegt ebenfalls auf der Schattenachse und ist die Spitze – also der Endpunkt – des Kernschattens. Dabei gilt:<a href="#cite_note-Green18.6-14">[13]</a>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{V_{1}}=z_{m}+{\frac {\rho _{m}}{\sin f_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a15ecfcbb35bd64908890ac565e43ae90dccfa5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.071ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle z_{V_{1}}=z_{m}+{\frac {\rho _{m}}{\sin f_{1}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{V_{2}}=z_{m}-{\frac {\rho _{m}}{\sin f_{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5dd4807d9918dbbfaefdd989bad2676b3fae075d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.071ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle z_{V_{2}}=z_{m}-{\frac {\rho _{m}}{\sin f_{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Mittels dieser Abstände der Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/adfdbc929f16cb00bb43289c223651b41f7b9f80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.409ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ceaa689a894f5020a7b46177d201cbce2d41122b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.409ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{2}}" loading="lazy"> von der Fundamentalebene lassen sich die Radien der Schattenkegel in dieser Ebene wie folgt ermitteln:<a href="#cite_note-Seidelmann8.32-13">[12]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{1}=z_{V_{1}}\tan f_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3cf5eba0aee721cb4bfd6c753aa9f3be597fabdf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.277ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle l_{1}=z_{V_{1}}\tan f_{1}}" loading="lazy"></dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{2}=z_{V_{2}}\tan f_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a5428d270d9f5a56fd60a321692a5491cf61be9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.277ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle l_{2}=z_{V_{2}}\tan f_{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

Wenn die Kegelspitze des Kernschattens vom Mond aus gesehen hinter die Fundamentalebene fällt, also eine totale Sonnenfinsternis vorliegt, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{V_{2}}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{V_{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d8e2a6ca812c636c682702fd435724514b817a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.103ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle z_{V_{2}}}" loading="lazy"> negativ, im anderen Fall positiv, was bei einer ringförmigen Sonnenfinsternis der Fall ist. Entsprechend der Konvention wird auch das <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a> des Kernschattenradius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84708bbc21c20c9834e0e57746dbbc437414c350.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.748ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l_{2}}" loading="lazy"> so gewählt, dass dieser im Falle einer totalen Sichtbarkeit negativ angegeben wird, bei ringförmiger Sichtbarkeit hingegen positiv. Die Größen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{V_{1}}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{V_{1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cbc9b59140b04911fe07c0224e81d1fac31dcb3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.103ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle z_{V_{1}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29b25eeca673386d676f79dce674fe93040693eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.748ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l_{1}}" loading="lazy"> sind immer positiv.

Zur Berechnung wird ein Mondradius gewählt, der eine Mittelung der Unregelmäßigkeiten des Mondrandes darstellt (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho _{m}=0{,}2725076}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho _{m}=0{,}2725076}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4d21a272450b736b903031eb8093e44b6537160.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.922ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \rho _{m}=0{,}2725076}" loading="lazy">). Da aber die Totalität einer Finsternis nicht vorliegt, solange durch das tiefste Mondtal scheinende Sonnenstrahlen den Beobachtungsort noch erreichen, wird zur Berechnung der Totalitätszone und -dauer auch ein zweiter, kleinerer Wert (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho _{m}=0{,}272281}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho _{m}=0{,}272281}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b21a51351987ec1d4cbf552e6022448a759689b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.759ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \rho _{m}=0{,}272281}" loading="lazy">) benutzt.<a href="#cite_note-16">[15]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Veröffentlichung_der_Besselschen_Elemente">Veröffentlichung der Besselschen Elemente</h3></div>

Die Besselschen Elemente sind zeitabhängig. Um eine Bedeckung zu beschreiben, müssen sie daher für einen Zeitraum angegeben werden, der beispielsweise zur vollständigen Beschreibung einer Sonnenfinsternis mehrere Stunden umfasst.

Es gibt verschiedene Varianten der Veröffentlichung der Besselschen Elemente einer Sonnenfinsternis. In manchen Fällen werden die Werte aller nicht als konstant anzusehenden Elemente (also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29b25eeca673386d676f79dce674fe93040693eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.748ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84708bbc21c20c9834e0e57746dbbc437414c350.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.748ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l_{2}}" loading="lazy">) in stündlichen Intervallen für den gesamten Finsternisverlauf tabellarisch angegeben.<a href="#cite_note-17">[16]</a> Zwischenwerte können <a href="Interpolation_(Mathematik)" title="Interpolation (Mathematik)">interpoliert</a> werden.

Eine andere Variante ist, die Besselschen Elemente für eine Referenzzeit (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02d3006c4190b1939b04d9b9bb21006fb4e6fa4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{0}}" loading="lazy">) anzugeben, beispielsweise die dem Maximum nächstliegende volle Stunde in <a href="Terrestrische_Zeit" class="mw-redirect" title="Terrestrische Zeit">Terrestrischer Zeit</a> (TT), und zusätzlich die stündlichen Änderungen für alle nicht als konstant anzusehenden Elemente. Dies ermöglicht die Berechnung der Werte für andere Zeitpunkte des Finsternisverlaufs als <a href="Lineare_Funktion" title="Lineare Funktion">lineare Funktion</a> der Zeit.<a href="#cite_note-MuckeMeeus1992-1">[1]</a>

Die Angabe in polynomialer Form ermöglicht eine etwas genauere Näherung gegenüber der linearen Interpolation. Dabei werden für die veränderlichen Größen zusätzlich zum Wert zum Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02d3006c4190b1939b04d9b9bb21006fb4e6fa4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{0}}" loading="lazy"> bis zu drei Polynomkoeffizienten angegeben. Die Berechnung des Werts zu einer bestimmten Zeit erfolgt dann in folgender Form:

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=0}^{n_{\mathrm {max} }}a_{n}t^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8987009591b99736e5ac2eb1a48460193d511fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:8.527ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=0}^{n_{\mathrm {max} }}a_{n}t^{n}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei entspricht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> einer der veränderlichen Größen, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> ist die Differenz zur Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02d3006c4190b1939b04d9b9bb21006fb4e6fa4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{0}}" loading="lazy"> in Stunden.<a href="#cite_note-Altmann-2">[2]</a>

In der Praxis wird häufig auf die vom <a href="Goddard_Space_Flight_Center" title="Goddard Space Flight Center">Goddard Space Flight Center</a> der <a href="NASA" title="NASA">NASA</a><a href="#cite_note-18">[17]</a> in polynomialer Form veröffentlichten Besselschen Elemente zurückgegriffen. Bei den im <a href="Astronomical_Almanac" title="Astronomical Almanac">Astronomical Almanac</a> veröffentlichten Besselschen Elementen wird der Wert für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"> aus praktischen Gründen bereits unter Anwendung der in Frage kommenden <a href="Winkelfunktionen" class="mw-redirect" title="Winkelfunktionen">Winkelfunktionen</a> (<a href="Sinus" class="mw-redirect" title="Sinus">Sinus</a> sowie <a href="Kosinus" class="mw-redirect" title="Kosinus">Kosinus</a>) angegeben, zudem die Größen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f310a68106a9e308bdaf887ff8f7171c4cb9d96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.903ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle d'}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu '}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu '}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53b9ddd6bbc6f1ef9ca40b1c2e6e2c1c8d141aed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.086ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mu '}" loading="lazy">, die für den gesamten Finsternisverlauf näherungsweise als konstant anzusehenden stündlichen Änderungen der Größen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-Green18.6-14">[13]</a><a href="#cite_note-19">[18]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel_der_Anwendung_der_Besselschen_Elemente">Beispiel der Anwendung der Besselschen Elemente</h3></div>

In folgendem Beispiel werden zunächst die Besselschen Elemente für einen vorgegebenen Zeitpunkt berechnet, womit Position und Größe des Kern- und Halbschattenkegels in der Fundamentalebene zu diesem Zeitpunkt bekannt sind. Für praktische Anwendungen muss anschließend untersucht werden, wie Punkte an der Erdoberfläche relativ zu diesen Schattenkegeln liegen. Alle hierzu erforderlichen Größen sind durch die Geometrie der Erde vorgegeben. Im Beispiel wird untersucht, ob ein gegebener Ort innerhalb des Kernschattenkegels liegt.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Ermittlung_der_Besselschen_Elemente_für_einen_bestimmten_Zeitpunkt">Ermittlung der Besselschen Elemente für einen bestimmten Zeitpunkt</h4></div>

<caption>Besselsche Elemente (Polynomkoeffizienten) Referenzzeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02d3006c4190b1939b04d9b9bb21006fb4e6fa4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{0}}" loading="lazy"> = 11. August 1999 11:00:00 TT

</caption>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></th>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></th>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"></th>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"></th>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29b25eeca673386d676f79dce674fe93040693eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.748ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l_{1}}" loading="lazy"></th>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84708bbc21c20c9834e0e57746dbbc437414c350.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.748ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l_{2}}" loading="lazy"></th>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">

</th></tr>

<tr>

<td>343,687410

</td></tr>

<tr>

<td>15,002982

</td></tr>

<tr>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>

</td></tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan f_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c66ea4aaa3d1ecf4fe0c0127dac28a7548c35c92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.94ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \tan f_{1}}" loading="lazy"> = 0,0046129;       <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan f_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan f_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b92b03ae58a79a9a8d3d14f4445a5cab506da1e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.94ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \tan f_{2}}" loading="lazy"> = 0,0045900

</td></tr></tbody></table>

Die nebenstehende Tabelle enthält die Besselschen Elemente der <a href="Sonnenfinsternis_vom_11._August_1999" title="Sonnenfinsternis vom 11. August 1999">Sonnenfinsternis vom 11. August 1999</a> in polynomialer Form.<a href="#cite_note-20">[19]</a> Ziel sei es nun, für 12:34:03 <a href="MESZ" class="mw-redirect" title="MESZ">MESZ</a> (entspricht 10:34:03 UT) die Position des Kernschattens in der Fundamentalebene zu berechnen.

Zunächst ist die Differenz zur Referenzzeit (11:00:00 <a href="Terrestrische_Zeit" class="mw-redirect" title="Terrestrische Zeit">TT</a>) zu ermitteln. Hierbei ist noch die Differenz <a href="Delta_T" title="Delta T"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e61e7deb9c7c7b7dda762b0935e757add2acc559.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.572ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta T}" loading="lazy"></a> zwischen TT und <a href="Universal_Time" title="Universal Time">Universal Time</a> (UT) zu berücksichtigen, die zum Zeitpunkt der Finsternis 63,7 Sekunden betrug:

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=10{,}5675-11{,}0+{\frac {63{,}7}{3600}}=-0{,}414805556}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b74a4618e3e270ab4d5436598c57c57d5edfede3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:44.039ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle t=10{,}5675-11{,}0+{\frac {63{,}7}{3600}}=-0{,}414805556}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Koordinaten des Schnittpunkts der Schattenachse mit der Fundamentalebene für die gewünschte Zeit errechnen sich wie folgt:

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0{,}070042+0{,}5443035\ t-0{,}0000406\ t^{2}-0{,}0000081\ t^{3}=-0{,}155744523}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8c19e85e473aa7978eb0756fea217f7e8fd1c9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:75.12ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x=0{,}070042+0{,}5443035\ t-0{,}0000406\ t^{2}-0{,}0000081\ t^{3}=-0{,}155744523}" loading="lazy"></dd></dl>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=0{,}502841-0{,}1184929\ t-0{,}0001158\ t^{2}+0{,}0000017\ t^{3}=0{,}551972467}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ead9c37dfdd0481195f4bf343730bc90e2ca73cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:73.138ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y=0{,}502841-0{,}1184929\ t-0{,}0001158\ t^{2}+0{,}0000017\ t^{3}=0{,}551972467}" loading="lazy"></dd></dl>

Analog errechnen sich Deklination und Stundenwinkel (die in der Tabelle fehlenden Werte für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a02c8bd752d2cc859747ca1f3a508281bdbc3b34.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=2}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c5a5a42ced00df920fad4ab2d4acdb960a4105b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=3}" loading="lazy"> sind mit 0 anzusetzen):

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d=15{,}32734-0{,}012035\ t-0{,}000003\ t^{2}=15{,}33233167}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5223d33ac0cee0788c4cca6ae08aa03de4e73011.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:55.612ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle d=15{,}32734-0{,}012035\ t-0{,}000003\ t^{2}=15{,}33233167}" loading="lazy"></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu =343{,}687410+15{,}002982\ t=337{,}4640897}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a46f7bf5e59bddfdb28dd5fe26a5d8e256e6bba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.186ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu =343{,}687410+15{,}002982\ t=337{,}4640897}" loading="lazy"></dd></dl>

Ebenso lässt sich nun der Radius des Kernschattens in der Fundamentalebene für diesen Zeitpunkt berechnen:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{2}=-0{,}0036500+0{,}0001163\ t-0{,}0000116\ t^{2}=-0{,}003700238}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/157da890ba83cb621f004f767d38bb641778688b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:63.247ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle l_{2}=-0{,}0036500+0{,}0001163\ t-0{,}0000116\ t^{2}=-0{,}003700238}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Halbschattenradius kann auf die gleiche Weise berechnet werden, er wird allerdings für die folgende Berechnung nicht benötigt.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Prüfung,_ob_ein_gegebener_Punkt_zu_dieser_Zeit_in_der_Totalitätszone_liegt">Prüfung, ob ein gegebener Punkt zu dieser Zeit in der Totalitätszone liegt</h4></div>

Im ersten Schritt wurden die Besselschen Elemente der Finsternis vom 11. August 1999 für 12:34:03 MESZ berechnet. Nun soll überprüft werden, ob der <a href="Schlo%C3%9Fplatz_(Stuttgart)" class="mw-redirect" title="Schloßplatz (Stuttgart)">Stuttgarter Schloßplatz</a> (<a class="external text" href="geo:48.77855,9.1799111111111">48° 46′ 42,8″ <abbr title="Nord">N</abbr>, 9° 10′ 47,7″ <abbr title="Ost">O</abbr></a>48.778559.1799111111111) zu diesem Zeitpunkt in der Totalitätszone lag. Hierzu werden die Koordinaten des Schloßplatzes in das fundamentale Koordinatensystem umgerechnet. Sind diese Koordinaten bestimmt, kann leicht ermittelt werden, ob dieser Punkt innerhalb des Schattenkegels liegt, da die Schattenachse ja per Definition senkrecht auf der Fundamentalebene steht.

Zunächst sind hierzu die gegebenen <a href="Ellipsoidische_Koordinaten" title="Ellipsoidische Koordinaten">geodätischen Koordinaten</a> des Schloßplatzes (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> = 48,77855° und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> = 9,17991°) einschließlich der <a href="Ellipsoidische_H%C3%B6he" class="mw-redirect" title="Ellipsoidische Höhe">ellipsoidischen Höhe</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> = 295 m<a href="#cite_note-21">[A 2]</a>) in geozentrische <a href="Kugelkoordinaten" title="Kugelkoordinaten">Kugelkoordinaten</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi '}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi '}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac5304c739c4deec1d259e3235a419e6177fe77a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.07ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi '}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.202ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \rho }" loading="lazy">) umzurechnen, wobei die Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> unverändert bleibt. Hierfür werden die <a href="Numerische_Exzentrizit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Numerische Exzentrizität">numerische Exzentrizität</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy"> des <a href="Rotationsellipsoid" title="Rotationsellipsoid">Rotationsellipsoids</a> der Erde und zwei weitere, daraus abgeleitete, breitenabhängige Hilfsgrößen verwendet:<a href="#cite_note-Seidelmann8.33-22">[20]</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}=0{,}006694380}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a7cd7f9baad1c7bc5e9fd57a7c3a93b4fe63db4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:27.729ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}=0{,}006694380}" loading="lazy"></dd>

<dd>Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> der <a href="%C3%84quatorradius" class="mw-redirect" title="Äquatorradius">Äquatorradius</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> der Polradius.</dd></dl>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}=1{,}001899093}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af09a2caf0f8afe812261f70570ff74a5ea9a6ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:35.605ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle C={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}=1{,}001899093}" loading="lazy"></dd>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=\left(1-e^{2}\right)C=0{,}995191999}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf99c7b15fd84074c594a20e4de980f4a2e293f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:30.391ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle S=\left(1-e^{2}\right)C=0{,}995191999}" loading="lazy"></dd></dl>

Mit dem Äquatorradius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> = 6.378.137 m lassen sich die geozentrischen Koordinaten wie folgt berechnen:<a href="#cite_note-Altmann-2">[2]</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mi>arctan</mi>

<mfrac>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi ^{\prime }=\arctan {\frac {\left(aS+h\right)\tan \phi }{aC+h}}=48{,}5877227^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb249773e6cdcc9a392bff6915b34868dc442498.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:42.357ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \phi ^{\prime }=\arctan {\frac {\left(aS+h\right)\tan \phi }{aC+h}}=48{,}5877227^{\circ }}" loading="lazy"></dd></dl>

<mfrac>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho ={\frac {\left(aC+h\right)\cos \phi }{a\cos \phi ^{\prime }}}=0{,}998156295}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ecc923e38d967142f2016107b514116a5c324004.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:34.762ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \rho ={\frac {\left(aC+h\right)\cos \phi }{a\cos \phi ^{\prime }}}=0{,}998156295}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei drückt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.202ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \rho }" loading="lazy"> den Abstand des Schloßplatzes vom Erdmittelpunkt in Einheiten des Äquatorradius aus, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi '}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi '}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac5304c739c4deec1d259e3235a419e6177fe77a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.07ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi '}" loading="lazy"> ist der Winkel zwischen der Äquatorebene und dem vom Erdmittelpunkt zum Schloßplatz zeigenden <a href="Ortsvektor" title="Ortsvektor">Ortsvektor</a>.

Als Hilfsgröße wird nun der Stundenwinkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }" loading="lazy"> des Beobachtungsorts gegenüber der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">-Achse des fundamentalen Koordinatensystems ermittelt. Dabei ist zu beachten, dass bei den Besselschen Elementen der Stundenwinkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> unter Annahme eines <a href="Ephemeridentag" class="mw-redirect" title="Ephemeridentag">Ephemeridentags</a> (entsprechend der Terrestrischer Zeit, früher: <a href="Ephemeridenzeit" title="Ephemeridenzeit">Ephemeridenzeit</a>) berechnet wird. Da aber die tatsächliche Erdrotation nicht ganz regelmäßig ist, muss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> zunächst um den Zeitunterschied zwischen Terrestrischer Zeit und Universal Time korrigiert werden, der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e61e7deb9c7c7b7dda762b0935e757add2acc559.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.572ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta T}" loading="lazy"> entspricht. Zur Berechnung der entsprechenden Winkelkorrektur ist die <a href="Siderischer_Tag" title="Siderischer Tag">siderische Taglänge</a> maßgeblich, der Unterschied zur synodischen Taglänge (<a href="Sonnentag" title="Sonnentag">Sonnentag</a>) wird durch den Faktor 1,002738 berücksichtigt.<a href="#cite_note-MuckeMeeus1992-1">[1]</a><a href="#cite_note-23">[A 3]</a> Eigentlich muss die <a href="Geographische_L%C3%A4nge" title="Geographische Länge">geographische Länge</a> des Beobachters (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy">) von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> abgezogen werden, da beide Winkel aber in entgegengesetzter Richtung gemessen werden, ist es eine Addition.<a href="#cite_note-Seidelmann8.33-22">[20]</a>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta =\left(\mu -1{,}002738\cdot {\frac {360^{\circ }}{86400\mathrm {s} }}\Delta T\right)+\lambda =346{,}3778563^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79e6e219f2e965728eb6e71a2e2ce639b2b15c0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:54.072ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \theta =\left(\mu -1{,}002738\cdot {\frac {360^{\circ }}{86400\mathrm {s} }}\Delta T\right)+\lambda =346{,}3778563^{\circ }}" loading="lazy"></dd></dl>

Damit lassen sich die kartesischen Koordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \eta }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5c3916703cae7938143d38865f78f27faadd4ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.095ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \zeta }" loading="lazy"> des Schloßplatzes im fundamentalen Koordinatensystem wie folgt ermitteln, wobei die Neigung der Fundamentalebene gegenüber dem geodätischen Koordinatensystem durch die Deklination <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"> berücksichtigt wird:<a href="#cite_note-Altmann-2">[2]</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi =\rho \cos \phi ^{\prime }\sin \theta =-0{,}155501299}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b92495d6e32d0441996defb1daf98a25f73176d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.184ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \xi =\rho \cos \phi ^{\prime }\sin \theta =-0{,}155501299}" loading="lazy"></dd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta =\rho \sin \phi ^{\prime }\cos d-\rho \cos \phi ^{\prime }\sin d\cos \theta =0{,}552271870}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48784dea951dc2950c693b11abbd77282d5a44e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.46ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \eta =\rho \sin \phi ^{\prime }\cos d-\rho \cos \phi ^{\prime }\sin d\cos \theta =0{,}552271870}" loading="lazy"></dd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta =\rho \sin \phi ^{\prime }\sin d+\rho \cos \phi ^{\prime }\cos d\cos \theta =0{,}816780948}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc0010b344736abc2a9ede7a9ae6e5629ebd1f1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.386ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \zeta =\rho \sin \phi ^{\prime }\sin d+\rho \cos \phi ^{\prime }\cos d\cos \theta =0{,}816780948}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Radius der Schnittfläche des Kernschattenkegels in der durch den Schloßplatz gehenden, zur Fundamentalebene parallelen Ebene liegt näher an Sonne und Mond und ist deshalb etwas größer als der Kernschattenradius in der Fundamentalebene. Er lässt sich auf Basis des in den Besselschen Elementen angegebenen Konuswinkels des Schattenkegels (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan f_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan f_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b92b03ae58a79a9a8d3d14f4445a5cab506da1e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.94ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \tan f_{2}}" loading="lazy">) und des Abstands des Schloßplatzes von der Fundamentalebene (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5c3916703cae7938143d38865f78f27faadd4ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.095ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \zeta }" loading="lazy">) berechnen. Dabei ist zu beachten, dass der Kernschattenradius bei einer totalen Finsternis per Definition negativ angegeben wird.<a href="#cite_note-Altmann-2">[2]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l_{2,\zeta }=l_{2}-\zeta \ \tan f_{2}=-0{,}007449262}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/240331dd1ef4e3e5e8a9253a21c987c3d542bde3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:35.847ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle l_{2,\zeta }=l_{2}-\zeta \ \tan f_{2}=-0{,}007449262}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> des Schloßplatzes von der Schattenachse in derselben Ebene lässt sich wie folgt ermitteln:

<msqrt>

<msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\sqrt {\left(\xi -x\right)^{2}+\left(\eta -y\right)^{2}}}=0{,}000385746<0{,}007449262}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b16f7253676548c7fd30b3ddbc2e40f536adeb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:56.144ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle r={\sqrt {\left(\xi -x\right)^{2}+\left(\eta -y\right)^{2}}}=0{,}000385746<0{,}007449262}" loading="lazy"></dd></dl>

Da der Abstand des Schloßplatzes in dieser Ebene kleiner ist als der Radius des Schattenkegels, lag der Schloßplatz also zum gegebenen Zeitpunkt innerhalb des Kernschattens. Weil es zu dieser Zeit in Stuttgart regnete, war allerdings auf dem Schloßplatz keine Beobachtung der verfinsterten Sonne möglich.<a href="#cite_note-24">[21]</a>

Durch iteratives Durchführen dieser Berechnungen für einen Zeitraum lassen sich prinzipiell die <a href="Konjunktion_(Astronomie)#Konjunktionen,_Berührungen_und_Bedeckungen_von_Himmelskörpern" title="Konjunktion (Astronomie)">Kontaktzeiten</a> an einem bestimmten Ort ermitteln. Es gibt aber auch direkte Verfahren, um die Kontaktzeiten zu berechnen.<a href="#cite_note-MuckeMeeus1992-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weitere_Gestirnsbedeckungen_durch_den_Mond">Weitere Gestirnsbedeckungen durch den Mond</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Sternbedeckungen_durch_den_Mond">Sternbedeckungen durch den Mond</h3></div>

Bei Sternbedeckungen kann die Berechnung der Besselschen Elemente gegenüber Sonnenfinsternissen stark vereinfacht werden, da es ausreichend genau ist, den bedeckten Himmelskörper als unendlich weit entfernt anzusehen. Diese Annahme ermöglicht es, die Lichtstrahlen des entfernten Objekts, die das Erde-Mond-System erreichen, als parallel zu betrachteten. Damit ergibt sich, dass die Richtung der Schattenachse, also die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">-Achse des Besselschen fundamentalen Koordinatensystems, während des gesamten Verlaufs der Bedeckung immer genau in Richtung des Sterns zeigt und damit durch die <a href="%C3%84quatoriales_Koordinatensystem" title="Äquatoriales Koordinatensystem">äquatorialen Koordinaten</a> des Sterns von vornherein gegeben ist.

Eine weitere Vereinfachung gegenüber einer Sonnenfinsternis besteht darin, dass kein Kern- und Halbschattenkegel beschrieben werden muss, sondern dass es ausreicht, den „Schatten“ als senkrecht auf der Fundamentalebene stehenden <a href="Zylinder_(Geometrie)" title="Zylinder (Geometrie)">Zylinder</a> aufzufassen. Der Radius dieses Zylinders entspricht dem Mondradius, der 0,2725 des Äquatorradius der Erde entspricht. Die Angabe von variablen Schattenradien sowie Öffnungswinkeln erübrigt sich damit.<a href="#cite_note-Green18.9-10">[10]</a><a href="#cite_note-Seidelmann9.41-25">[22]</a>

Die Fundamentalebene wird analog zu den Sonnenfinsternissen gewählt, also die durch den Erdmittelpunkt gehende Normalebene dieser Schattenachse. Die Schnittlinie der Fundamentalebene mit der Äquatorebene ist die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Achse und zeigt nach Osten, senkrecht auf dieser steht im Erdmittelpunkt die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Achse und zeigt nach Norden. Wie bei Sonnenfinsternissen erfolgen alle Angaben in diesem Koordinatensystem in Einheiten des Äquatorradius.<a href="#cite_note-Green18.9-10">[10]</a>

Anders als bei der Sonnenfinsternis wird als Bezugszeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55b9e7d7b96196b5a6a26f4349caa3ac82fd67e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.412ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{0}}" loading="lazy"> für die Besselschen Elemente häufig nicht eine volle Stunde, sondern der Zeitpunkt der <a href="Konjunktion_(Astronomie)" title="Konjunktion (Astronomie)">Konjunktion in Rektaszension</a> gewählt, also der Zeitpunkt, zu dem Stern und Mond dieselbe <a href="Rektaszension" title="Rektaszension">Rektaszension</a> aufweisen. Zu diesem Zeitpunkt hat die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Koordinate der Zylinderachse den Wert 0, so dass in Tabellen nur noch die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Koordinate der Zylinderachse in der Fundamentalebene angegeben wird. Die Besselschen Elemente einer Sternbedeckung werden dann wie folgt festgelegt:<a href="#cite_note-Seidelmann9.41-25">[22]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \!\ T_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/328f12f4c386bf19063edd24c00ce3cc26e9ac2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.387ex; width:2.992ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \!\ T_{0}}" loading="lazy"></td>

<td>Der Zeitpunkt der <a href="Konjunktion_(Astronomie)" title="Konjunktion (Astronomie)">Konjunktion in Rektaszension</a>, angegeben in <a href="Universal_Time" title="Universal Time">Universal Time</a> (UT)

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \!\ H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c82ab96164a0045026e766986a6bb12f54aa5bea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-left: -0.387ex; width:2.644ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \!\ H}" loading="lazy"></td>

<td>Der <a href="Stundenwinkel" title="Stundenwinkel">Stundenwinkel</a> des Sterns zum Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55b9e7d7b96196b5a6a26f4349caa3ac82fd67e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.412ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{0}}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \!\ Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fc1c4e1836d7d958bec7adc5dcf0bb59306f5bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; margin-left: -0.387ex; width:2.354ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \!\ Y}" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> zum Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55b9e7d7b96196b5a6a26f4349caa3ac82fd67e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.412ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{0}}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \!\ x',y'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/097f5bbcfbaab890d1d574e86e6f5e8aded269af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.387ex; width:5.474ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \!\ x',y'}" loading="lazy"></td>

<td>Die zeitliche Änderung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> pro Stunde

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \!\ \alpha ,\delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c51648e7434d76c2d4e84b3161cb9f06b2757b0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.387ex; width:4.151ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \!\ \alpha ,\delta }" loading="lazy"></td>

<td>Rektaszension und Deklination des Sterns (<a href="Sternort" class="mw-redirect" title="Sternort">Sternort</a>) und gleichzeitig Richtung der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">-Achse

</td></tr></tbody></table>

Für Prognosenberechnungen ist es ausreichend, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ac74959896052e160a5953102e4bc3850fe93b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.014ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x'}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a535de94a2183d7130731eab8a83531d7c35c6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.845ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y'}" loading="lazy"> während des gesamten Verlaufs der Bedeckung als konstant zu betrachten.<a href="#cite_note-Green18.9-10">[10]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bedeckung_der_Planeten_durch_den_Mond">Bedeckung der Planeten durch den Mond</h3></div>

Das Verfahren der Besselschen Elemente lässt sich auf beliebige Gestirnsbedeckungen anwenden, wenn beide Gestirne hinreichend genau kugelförmig sind. Es sind lediglich die Position und Größe der Sonne durch die des betreffenden Planeten zu ersetzen. Als Ausnahmen gab Bessel 1842 lediglich die Planeten <a href="Jupiter_(Planet)" title="Jupiter (Planet)">Jupiter</a> und <a href="Saturn_(Planet)" title="Saturn (Planet)">Saturn</a> an, da deren Abweichung von der Kugelgestalt damals messbar war.<a href="#cite_note-Bessel1842-7">[7]</a> Um das Sichtbarkeitsgebiet für Bedeckungen von Planeten durch den Mond vorherzusagen, kann dasselbe vereinfachte Verfahren wie bei Sternbedeckungen angewandt werden (siehe <a href="#Sternbedeckungen_durch_den_Mond">oben</a>).<a href="#cite_note-Seidelmann9.41-25">[22]</a>

Sollen jedoch die Kontaktzeiten genau bestimmt werden, ist eine gegebenenfalls vorhandene Abweichung des Planeten von der Kugelform zu berücksichtigen und auch, welcher Teil der Planetenscheibe zum Zeitpunkt der Bedeckung von der Sonne angestrahlt wird. Dieses Verfahren wurde 1865 von Chauvenet beschrieben, da Bessels Verfahren für die zwischenzeitlich präziser gewordenen Beobachtungsmethoden nicht mehr genau genug war. Dabei wird der von der Sonne beschienene und von der Erde sichtbare Teil des Planeten direkt betrachtet und nicht in eine Fundamentalebene abgebildet.<a href="#cite_note-Chauvenet.A.347-26">[23]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Transit_der_unteren_Planeten">Transit der unteren Planeten</h2></div>

Beim Transit der <a href="Unterer_und_oberer_Planet" title="Unterer und oberer Planet">unteren Planeten</a> <a href="Venus_(Planet)" title="Venus (Planet)">Venus</a> und <a href="Merkur_(Planet)" title="Merkur (Planet)">Merkur</a> vor der Sonne ist der bedeckende Himmelskörper der Planet. Dieser kann die Sonne niemals vollständig bedecken, denn der Kernschatten ist viel zu kurz, um auf die Erde zu fallen. Auch für diese astronomischen Ereignisse werden Besselsche Elemente zur Berechnung der lokalen Gegebenheiten verwendet.<a href="#cite_note-27">[24]</a> Es kann dabei genau dasselbe Berechnungsverfahren wie bei Sonnenfinsternissen verwendet werden, der Planet übernimmt dabei die Rolle des Mondes.<a href="#cite_note-Chauvenet.A.357-28">[25]</a>

Da die Entfernung der unteren Planeten von der Erde wesentlich größer ist als die des Mondes, besteht bei Transiten die Möglichkeit einer vereinfachten Berechnung der Zeitpunkte des Ein- und Austritts der Planetenscheibe vor der Sonne.<a href="#cite_note-Seidelmann8.5-29">[26]</a> Dieses Verfahren kommt ohne die Umrechnung der Ephemeriden in das Besselsche fundamentale Koordinatensystem aus. Dabei macht man sich zu Nutze, dass die quadrierte oder zu höherer <a href="Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik)">Potenz</a> erhobene <a href="Parallaxe" title="Parallaxe">Parallaxe</a> der Planeten so klein wird, dass sie vernachlässigt werden kann. Ausgehend von den auf den Erdmittelpunkt bezogenen Kontaktzeiten können auf diese Weise die entsprechenden Zeitpunkte an jedem Punkt der Erde berechnet werden. Das Prinzip dieser vereinfachten Berechnung geht auf <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Lagrange</a> zurück und wurde von <a href="William_Chauvenet" title="William Chauvenet">William Chauvenet</a> verbessert, indem er die Erdabplattung berücksichtigte.<a href="#cite_note-Chauvenet.A.357-28">[25]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mondfinsternisse">Mondfinsternisse</h2></div>

Bei einer Mondfinsternis befindet sich ein irdischer Beobachter auf dem Himmelskörper, der den Schatten wirft. Somit sieht man von allen Orten auf der Erde genau denselben Finsternisverlauf, vorausgesetzt, der Mond ist sichtbar. Bei der Berechnung von Mondfinsternissen werden entsprechende Sehwinkel (<a href="Polarkoordinaten" title="Polarkoordinaten">polare Koordinaten</a>) bestimmt, was der Ermittlung der Besselschen Elemente (<a href="Kartesische_Koordinaten" class="mw-redirect" title="Kartesische Koordinaten">kartesische Koordinaten</a> in der Besselschen Fundamentalebene) ähnelt. Deshalb werden die für Mondfinsternisse benutzten Sehwinkel gelegentlich auch Besselsche Elemente genannt.<a href="#cite_note-Seidelmann8.4-30">[27]</a> Eine Fundamentalebene wird aber weder für die Erde noch für den Mond benutzt, und es handelt sich bei der Beschreibung von Mondfinsternissen in der Regel ausschließlich um polare Koordinaten.

Wie bei Sonnenfinsternissen bezieht sich das fundamentale Koordinatensystem auf die Schattenachse, die bei Mondfinsternissen aber immer durch den Erdmittelpunkt geht. Die Berechnung ähnelt der bei Sonnenfinsternissen. <a href="Rektaszension" title="Rektaszension">Rektaszension</a> und <a href="Deklination_(Astronomie)" title="Deklination (Astronomie)">Deklination</a> der Schattenachse ergeben sich in diesem Fall direkt aus den entsprechenden Werten der Sonne, die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">-Achse zeigt dabei aber von der Sonne weg. Somit gilt:<a href="#cite_note-Seidelmann8.4-30">[27]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=\alpha _{s}+180^{\circ };\quad \quad d=-\delta _{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29782722fbfe1585b303b1316eef2cc67be26390.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:28.039ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a=\alpha _{s}+180^{\circ };\quad \quad d=-\delta _{s}}" loading="lazy"></dd></dl>

Auf die gleiche Weise wie bei Sonnenfinsternissen kann der geozentrische Ortsvektor des Mondes in das fundamentale System umgerechnet werden. Über dessen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">- und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Komponente kann die Lage des Mondmittelpunkts in Bezug zur Schattenachse ermittelt werden. Da alle benutzen Winkel ihren Scheitelpunkt im Erdmittelpunkt haben, werden im Gegensatz zu Sonnenfinsternissen für die Umrechnung keine Längenangaben benötigt. Die Koordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> beziehen sich auf die <a href="Einheitskugel" title="Einheitskugel">Einheitskugel</a>. Die daraus abgeleiteten Winkel werden in <a href="Bogensekunde" class="mw-redirect" title="Bogensekunde">Bogensekunden</a> angegeben. Die dabei verwendeten Formeln entsprechen bis auf die fehlende Einheitenumrechnung den bei der Sonnenfinsternis verwendeten.<a href="#cite_note-Seidelmann8.4-30">[27]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\cos \delta _{m}\sin \left(\alpha _{m}-a\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e6af20fd7f2ac9c758d7e065038db8f4558b339.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.919ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=\cos \delta _{m}\sin \left(\alpha _{m}-a\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\sin \delta _{m}\cos d-\cos \delta _{m}\sin d\cos \left(\alpha _{m}-a\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/966cf960ef8e782aa677b82ed4d09f5846082d91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.737ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=\sin \delta _{m}\cos d-\cos \delta _{m}\sin d\cos \left(\alpha _{m}-a\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Daraus lässt sich der Winkelabstand des Mondmittelpunkts von der Schattenachse berechnen:<a href="#cite_note-Seidelmann8.4-30">[27]</a>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c80e82c4d5076fb94f96efdbe7f2b085ba44e8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:14.902ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle m={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Größe der Radien von Halb- und Kernschatten werden ebenfalls als geozentrische Sehwinkel angegeben. Die Größen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50dfd257a51e037112c917f8a9e47c9c053466df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.193ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc886fdaa7adc9be11ff4a5076da5e0943bcff58.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.193ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{2}}" loading="lazy"> beschreiben hierbei den Sehwinkel der Schattenradien in der Mondumlaufbahn. In nebenstehender Abbildung deutet die gestrichelte Linie die Mondumlaufbahn an. Der Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi _{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi _{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe9973fd2e33cbcbba0d9ad9e06d3466a5fba072.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \pi _{m}}" loading="lazy"> ist der Sehwinkel des Erdradius vom Mond aus gesehen und entspricht somit der <a href="Horizontalparallaxe" title="Horizontalparallaxe">Parallaxe</a> des Mondes. Da dieser Winkel ein <a href="Au%C3%9Fenwinkel" title="Außenwinkel">Außenwinkel</a> des Dreiecks <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta EM'V_{2}}">

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta EM'V_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9c07eeee5abd78a2bede0a207ad8bdc541f0b8b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.304ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta EM'V_{2}}" loading="lazy"> ist, gilt für den Sehwinkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc886fdaa7adc9be11ff4a5076da5e0943bcff58.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.193ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{2}}" loading="lazy"> des Kernschattens in der Mondumlaufbahn

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{2}=\pi _{m}-v_{2}\!\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71154f405510cdd745ef7d05043bee3de93ad9a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.314ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{2}=\pi _{m}-v_{2}\!\,}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb04c423c2cb809c30cac725befa14ffbf4c85f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.182ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{2}}" loading="lazy"> der halbe Öffnungswinkel des Kernschattenkegels ist.<a href="#cite_note-Green18.2-31">[28]</a>

Analog kann über das Dreieck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta ES'V_{2}}">

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta ES'V_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37e99573d3ee4206cb854b4989a95e14014215e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.327ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta ES'V_{2}}" loading="lazy"> eine weitere Winkelbeziehung hergeleitet werden: Der Außenwinkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{s}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28528468fc3b17c72144f4ba50bb7b4257c1e316.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.052ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{s}}" loading="lazy"> entspricht dem Sehwinkel des Sonnenradius von der Erde, der Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi _{s}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi _{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0dcfaac8814f5e62e87bca6bec267ee6e80808db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.328ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \pi _{s}}" loading="lazy"> der geozentrischen Parallaxe der Sonne. Somit gilt:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{2}=r_{s}-\pi _{s}\!\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9d4f6cd7441d7c91a98f9c520b6204a14f4234a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.501ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle v_{2}=r_{s}-\pi _{s}\!\,}" loading="lazy"></dd></dl>

Aus beiden Winkelbeziehungen lässt sich nun durch Eliminierung des Konuswinkels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb04c423c2cb809c30cac725befa14ffbf4c85f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.182ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{2}}" loading="lazy"> der gesuchte Winkel ermitteln:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{2}=\pi _{s}+\pi _{m}-r_{s}\!\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65481c2f90a9bfe9ffa0a43c19ba2bdd8dea44e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.353ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{2}=\pi _{s}+\pi _{m}-r_{s}\!\,}" loading="lazy"></dd></dl>

In analoger Weise kann auch der geozentrische Sehwinkel des Halbschattenradius im Mondorbit ermittelt werden. Für diesen ergibt sich folgende Beziehung:<a href="#cite_note-Green18.2-31">[28]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1}=\pi _{s}+\pi _{m}+r_{s}\!\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5fdf749a8d61a384878734f632e8ad27e9ea10e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.353ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{1}=\pi _{s}+\pi _{m}+r_{s}\!\,}" loading="lazy"></dd></dl>

Um die Ermittlung der Kontaktzeiten der Finsternis zu unterstützen, werden aus den Größen des Kern- und Halbschattens und dem Mondradius drei weitere Hilfsgrößen abgeleitet. Dies sind die Sehwinkel für den Abstand des Mondmittelpunkts von der Schattenachse während eines bestimmten Kontakts, die aus den Sehwinkeln der Schattenradien und dem Sehwinkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d890e9041463a4a1cf563bf55f3943ca3b318d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.724ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{m}}" loading="lazy"> des Mondradius berechnet werden:<a href="#cite_note-Seidelmann8.4-30">[27]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{1}=f_{1}+r_{m}\!\,;}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5acec1964ae4aa37994830505f13592e792f3f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.14ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{1}=f_{1}+r_{m}\!\,;}" loading="lazy"> Ein- und Austritt des Mondes für den Halbschatten</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{2}=f_{2}+r_{m}\!\,;}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f96aeadb1676aba809ef2fad2abbcfd227cd2164.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.14ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{2}=f_{2}+r_{m}\!\,;}" loading="lazy"> Ein- und Austritt des Mondes für den Kernschatten</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{3}=f_{2}-r_{m}\!\,;}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2df9cd5e39f8fb7f429819092d91315d0e3343f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.14ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{3}=f_{2}-r_{m}\!\,;}" loading="lazy"> Beginn und Ende der totalen Finsternis</dd></dl>

Die Größen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\!\,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\!\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4da4b62b4e0b6a2e777861a32aded2c1ebabf78d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x\!\,}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\!\,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\!\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea0ae1891c17c1ee13a23c034ea6dff6928a67b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y\!\,}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\!\,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\!\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e1566f742a01abf7df6a1a331325f798b559b94d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m\!\,}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{1}\!\,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{1}\!\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9cf956463eb56ac1c2ef36642f1c40e230ac61a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.637ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{1}\!\,}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{2}\!\,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{2}\!\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f209666f4f9d2edf6c419be1b75038d11ee0130.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.637ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{2}\!\,}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{3}\!\,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{3}\!\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50b3b785a22493159b3edce3d0aef33e68c99430.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.637ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{3}\!\,}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{1}\!\,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1}\!\,}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/039be8216ae7756d1a05d7421ce96393426f2bb8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.193ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{1}\!\,}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{2}\!\,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{2}\!\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85c0d2f341190b5f8cf768f11b851a2df82e41d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.193ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{2}\!\,}" loading="lazy"> sowie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a82c85f33714da82ab42d6b69eae07ab7e5e234b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {x}}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {y}}}">

<mover>

</mover>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {y}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea068ce646833369cccf19795f23613159b5f89f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.302ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {y}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {m}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {m}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad59b9876301e8fb75b9ddbf08de594b87251d3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {m}}}" loading="lazy"> – die stündliche Änderungsraten für die korrespondierenden Größen – gelten als Besselsche Elemente einer Mondfinsternis. Sie werden für eine Referenzzeit angegeben, beispielsweise den Zeitpunkt der Mond<a href="Opposition_(Astronomie)" title="Opposition (Astronomie)">opposition</a>. Es gibt allerdings im Gegensatz zu Sonnenfinsternissen keine allgemein anerkannte Art und Weise der Angabe der Kenngrößen.<a href="#cite_note-Seidelmann8.4-30">[27]</a>

Die bisher dargestellten Berechnungen verwendeten nur Winkel zur Schattenachse und kamen ohne Definition der Fundamentalebene aus. Wenn berechnet werden soll, wann bestimmte <a href="Mondkrater" title="Mondkrater">Mondkrater</a> – also markante Punkte der Mondoberfläche – in den Kernschatten ein- oder austreten, ist dies möglich, wenn man die Fundamentalebene so wählt, dass sie durch den Mondmittelpunkt geht – in ähnlicher Weise wie für Punkte der Erdoberfläche bei Sonnenfinsternissen.

Bei Überprüfung der berechneten Kontaktzeiten und insbesondere Ein- und Austrittszeitpunkte bestimmter Mondkrater in den bzw. aus dem Kernschatten zeigen die auf diese Weise berechneten Daten keine brauchbare Übereinstimmung mit der Realität. Dies liegt zum einen daran, dass die Erde aufgrund ihrer <a href="Erdabplattung" title="Erdabplattung">Abplattung</a> keinen ausreichend kreisförmigen Schatten wirft. Zum zweiten liegt es an der <a href="Erdatmosph%C3%A4re" title="Erdatmosphäre">Erdatmosphäre</a>, durch die sich die Schattenkegel vergrößern. Um diese Effekte zu kompensieren, ist es üblich, in die Formeln zur Berechnung der Größe des Halb- und Kernschattenkegels zwei Korrekturfaktoren einzuführen,<a href="#cite_note-Seidelmann8.23-32">[29]</a> wobei der Faktor 1,02 die Vergrößerung des Erdschattens durch die Wirkung der Erdatmosphäre um 1/50 und der Faktor 0,998340 die Abplattung der Erde im <a href="Mittelwert" title="Mittelwert">Mittelwert</a> zwischen Äquator- und Poldurchmesser kompensieren soll:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1}=1{,}02\left(0{,}998340\ \pi _{m}+\pi _{s}+r_{s}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45943501ef13b5ab2d4973a8221e269604562d57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.048ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f_{1}=1{,}02\left(0{,}998340\ \pi _{m}+\pi _{s}+r_{s}\right)}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{2}=1{,}02\left(0{,}998340\ \pi _{m}+\pi _{s}-r_{s}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13549793c2e3e0b285aa3754b811454ee35f0fbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.048ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f_{2}=1{,}02\left(0{,}998340\ \pi _{m}+\pi _{s}-r_{s}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

<a href="Andr%C3%A9_Danjon" title="André Danjon">André Danjon</a> wies 1951 darauf hin, dass zur Berücksichtigung der Wirkung der Erdatmosphäre die beiden Schattenkegel nicht um den gleichen relativen Betrag von 1/50 zu vergrößern sind, sondern vielmehr eine Vergrößerung um denselben absoluten Betrag den tatsächlichen geometrischen Verhältnissen entspricht.<a href="#cite_note-Danjon-33">[30]</a> Danjon geht von einer 75 Kilometer hohen Schicht der Erdatmosphäre aus, die absorbierend wirkt, was einer Vergrößerung des Erdradius bzw. der Parallaxe des Mondes um 1/85 entspricht. Der Faktor 1,01 kombiniert diese Vergrößerung mit dem Faktor für die Erdabplattung:<a href="#cite_note-34">[A 4]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1}=1{,}01\ \pi _{m}+\pi _{s}+r_{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7bdd9b96bc8fe4b6914cad316687f27ec15d1138.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.068ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{1}=1{,}01\ \pi _{m}+\pi _{s}+r_{s}}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{2}=1{,}01\ \pi _{m}+\pi _{s}-r_{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b86fd4e4983167c7003303cb6084c9758a116ebc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.068ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{2}=1{,}01\ \pi _{m}+\pi _{s}-r_{s}}" loading="lazy"></dd></dl>

<a href="Mondfinsternis#Magnitude_(oder_Größe)" title="Mondfinsternis">Finsternisgrößen</a> für Kernschatten-Finsternisse, die nach der 1/50-Regel berechnet werden, sind im Vergleich zur Rechnung nach Danjon um etwa 0,005 zu groß, für Halbschatten-Finsternisse um rund 0,026.<a href="#cite_note-MeeusMucke.XXIV-35">[31]</a>

Aber auch auf diese Weise berechnete Daten zeigen noch keine besonders präzise Übereinstimmung mit der Realität. Dies wird vor allem darauf zurückgeführt, dass die Abplattung der Erdatmosphäre noch deutlich größer ist als die der Erdoberfläche. Es wird versucht, anhand der Beobachtungsdaten verschiedener Mondfinsternisse ein genaueres Korrekturverfahren zu entwickeln.<a href="#cite_note-Soulsby-36">[32]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkungen">Anmerkungen</h2></div>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Typischerweise werden vom <a href="Jet_Propulsion_Laboratory" title="Jet Propulsion Laboratory">Jet Propulsion Laboratory</a> veröffentlichte Ephemeriden (DE200/LE200) als Grundlage verwendet. Diese Ephemeriden beziehen sich auf die Massezentren der Himmelskörper. Für Finsternisse ist jedoch das Zentrum der Mond-, Planeten- oder Sonnenscheibe maßgeblich. Dies wirkt sich störend im Falle des Mondes aus, dessen Massezentrum etwa zwei Kilometer näher bei der Erde liegt als sein geometrisches Zentrum. Die Größe der dadurch verursachten Abweichung zeigt deshalb einen Zusammenhang zur <a href="Libration" title="Libration">Libration</a>. Falls bei der Berechnung Besselscher Elemente solche Korrekturen der Koordinaten des Mondes vorgenommen wurden, wird dies angegeben (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb2681b319e8bfca03998cc93c13e9e30e0ab78c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.268ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta \beta }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/905140cc6559a946172b382a0da12bbc82096801.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.291ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta \lambda }" loading="lazy">).

</li>

<li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> Die ellipsoidische Höhe ist für Stuttgart etwa 49 m größer als die <a href="Normalh%C3%B6hennull" title="Normalhöhennull">NHN</a>- oder <a href="Normalnull" title="Normalnull">NN</a>-Höhe.

</li>

<li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> Es ist zu beachten, dass diese Korrektur von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> bereits in der tabulierten Darstellung der Besselschen Elemente enthalten sein kann, wie beispielsweise im <a href="Astronomical_Almanac" title="Astronomical Almanac">Astronomical Almanac</a>.

</li>

<li id="cite_note-34"><a href="#cite_ref-34">↑</a> Danjon setzt für die Abplattung der Erde den Wert von 1/297 an, als Mittelwert zwischen Äquator- und Erddurchmesser wird 0,5 x 1/297 = 1/594 zur Korrektur der Schattengröße verwendet. Damit ergibt sich die Schattenvergrößerung zu 1 + 1/85 - 1/594 ~ 1,01.

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>P. Kenneth Seidelmann (Hrsg.): Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. University Science Books, Sausalito 2006, ISBN 1-891389-45-9</li>

<li>Robin M. Green: Spherical Astronomy. Cambridge University Press, Cambridge 1985, ISBN 0-521-23988-5</li>

<li>William Chauvenet: A Manual of Spherical and Practical Astronomy. J. B. Lippincott & Co, Philadelphia 1863, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.de/books?id=6JlzJHd15vQC">books.google.de</a></li>

<li><a href="Jean_Meeus" title="Jean Meeus">Jean Meeus</a>: Elements of Solar Eclipses 1951-2200. Willmann-Bell, Richmond 1989, ISBN 0-943396-21-2 (Mit Rechenverfahren und den Besselschen Elementen aller Sonnenfinsternisse im Zeitraum 1951 bis 2200.)</li>

<li>Jean Meeus: Transits. Willmann-Bell, Richmond 1989, ISBN 0-943396-25-5 (Mit Rechenverfahren und den Besselschen Elementen aller Merkur-Transits im Zeitraum 1600 bis 2300 und aller Venus-Transits -2000 bis 4000.)</li>

<li>Jean Meeus: Astronomical Tables of the Sun, Moon and Planets 3rd edition. Willmann-Bell, Richmond 2015, ISBN 978-1-942675-03-7 (Mit Rechenverfahren und den Besselschen Elementen für Bedeckungen heller Sterne im Zeitraum 2010 bis 2040.)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-MuckeMeeus1992-1">↑ <a href="#cite_ref-MuckeMeeus1992_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-MuckeMeeus1992_1-1">b</a> <a href="#cite_ref-MuckeMeeus1992_1-2">c</a> <a href="#cite_ref-MuckeMeeus1992_1-3">d</a> <a href="#cite_ref-MuckeMeeus1992_1-4">e</a> <a href="#cite_ref-MuckeMeeus1992_1-5">f</a> <a href="Hermann_Mucke" title="Hermann Mucke">Hermann Mucke</a>, <a href="Jean_Meeus" title="Jean Meeus">Jean Meeus</a>: Canon of Solar Eclipses: -2003 to +2526. Astronomisches Büro, Wien 1992, Seite XXXIII–LI

</li>

<li id="cite_note-Altmann-2">↑ <a href="#cite_ref-Altmann_2-0">a</a> <a href="#cite_ref-Altmann_2-1">b</a> <a href="#cite_ref-Altmann_2-2">c</a> <a href="#cite_ref-Altmann_2-3">d</a> <a href="#cite_ref-Altmann_2-4">e</a> Michael Altmann: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://aie.de/eclipsecalculator/hellt2.pdf">Helligkeitsverlauf bei Sonnenfinsternissen (II)</a> (PDF; 71 kB)

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Friedrich Wilhelm Bessel: Berechnung verschiedener Sternbedeckungen von den Herren Rosenberger, Strehlke und Klupsz. In: Astronomische Nachrichten, Nr. 50, 3, Februar 1824, S. 17–28, <a href="Bibcode" title="Bibcode">bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1824AN......3...17R">1824AN......3...17R</a> (Volltext verfügbar)

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Friedrich Wilhelm Bessel: Ueber die Vorausberechnung der Sternbedeckungen. In: Astronomische Nachrichten, Nr. 145, 7, September 1828, S. 1–16, <a href="Bibcode" title="Bibcode">bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1828AN......7....1B">1828AN......7....1B</a> (Volltext verfügbar)

</li>

<li id="cite_note-Bessel182901-5">↑ <a href="#cite_ref-Bessel182901_5-0">a</a> <a href="#cite_ref-Bessel182901_5-1">b</a> Friedrich Wilhelm Bessel: Beiträge zur Theorie der Finsternisse und den Berechnungs-Methoden derselben. In: Astronomische Nachrichten, Nr. 151, 7, Januar 1829, S. 121–136, <a href="Bibcode" title="Bibcode">bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1829AN......7..119.">1829AN......7..119.</a> (Volltext verfügbar)

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Friedrich Wilhelm Bessel: Beiträge zur Theorie der Finsternisse und den Berechnungs-Methoden derselben (Beschluß). In: Astronomische Nachrichten, Nr. 152, 7, Februar 1829, S. 137–144, <a href="Bibcode" title="Bibcode">bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1829AN......7..137B">1829AN......7..137B</a> (Volltext verfügbar)

</li>

<li id="cite_note-Bessel1842-7">↑ <a href="#cite_ref-Bessel1842_7-0">a</a> <a href="#cite_ref-Bessel1842_7-1">b</a> Friedrich Wilhelm Bessel: Astronomische Untersuchungen. Band 2, Königsberg 1842 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.de/books?id=V1M_AAAAcAAJ">books.google.de</a>)

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Roberdeau Buchanan: The Mathematical Theory of Eclipses According to Chauvenet’s Transformation of Bessel’s Method. S. 17 f., Philadelphia/London 1904

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Fred Espeneak: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://eclipse.gsfc.nasa.gov/SEcat5/beselm.html">Besselian Elements of Solar Eclipses.</a> NASA

</li>

<li id="cite_note-Green18.9-10">↑ <a href="#cite_ref-Green18.9_10-0">a</a> <a href="#cite_ref-Green18.9_10-1">b</a> <a href="#cite_ref-Green18.9_10-2">c</a> <a href="#cite_ref-Green18.9_10-3">d</a> Robin M. Green: Spherical Astronomy. S. 459 ff., siehe Literatur

</li>

<li id="cite_note-Seidelmann8.12-12"><a href="#cite_ref-Seidelmann8.12_12-0">↑</a> P. Kenneth Seidelmann: Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. S. 424 f., siehe Literatur

</li>

<li id="cite_note-Seidelmann8.32-13">↑ <a href="#cite_ref-Seidelmann8.32_13-0">a</a> <a href="#cite_ref-Seidelmann8.32_13-1">b</a> P. Kenneth Seidelmann: Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. S. 435–441, siehe Literatur

</li>

<li id="cite_note-Green18.6-14">↑ <a href="#cite_ref-Green18.6_14-0">a</a> <a href="#cite_ref-Green18.6_14-1">b</a> <a href="#cite_ref-Green18.6_14-2">c</a> <a href="#cite_ref-Green18.6_14-3">d</a> <a href="#cite_ref-Green18.6_14-4">e</a> <a href="#cite_ref-Green18.6_14-5">f</a> <a href="#cite_ref-Green18.6_14-6">g</a> Robin M. Green: Spherical Astronomy. S. 450–453, siehe Literatur

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Otto Praxl <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.praxelius.de/">Sonnen- und Mondfinsternisse.</a>

</li>

<li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Fred Espenak, Jay Anderson: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://eclipse.gsfc.nasa.gov/SEpubs/20080801/TP214149b.pdf">Total Solar Eclipse of 2008 August 01.</a> (PDF; 7,4 MB) März 2007, S. 6

</li>

<li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Jean Meeus, Carl Grosjean, Willy Vanderleen: Canon of Solar Eclipses. Pergamon Press, Oxford, 1966

</li>

<li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://eclipse.gsfc.nasa.gov/eclipse.html">NASA Eclipse Website</a>

</li>

<li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Astronomical Almanac 2005. S. A78ff., Stationery Office Books, 2003 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.de/books?id=5CNSCAfINYQC&pg=PT82">books.google.de</a>)

</li>

<li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> Fred Espeneak (NASA): <a rel="nofollow" class="external text" href="https://eclipse.gsfc.nasa.gov/SEbeselm/SEbeselm1951/SE1999Aug11Tbeselm.html">Besselian Elements for the Total Solar Eclipse of 1999 Aug 11</a>

</li>

<li id="cite_note-Seidelmann8.33-22">↑ <a href="#cite_ref-Seidelmann8.33_22-0">a</a> <a href="#cite_ref-Seidelmann8.33_22-1">b</a> P. Kenneth Seidelmann: Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. Seite 441–446, siehe Literatur

</li>

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</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20100703081124/http://www.von-zeit-zu-zeit.de/index.php?template=thema&theme_id=85">Schüchterne Sofi – die Sonnenfinsternis in Stuttgart.</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 3. Juli 2010 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>) von-zeit-zu-zeit.de

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<li id="cite_note-Seidelmann9.41-25">↑ <a href="#cite_ref-Seidelmann9.41_25-0">a</a> <a href="#cite_ref-Seidelmann9.41_25-1">b</a> <a href="#cite_ref-Seidelmann9.41_25-2">c</a> P. Kenneth Seidelmann: Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. Seite 494–497, siehe Literatur

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<li id="cite_note-Chauvenet.A.347-26"><a href="#cite_ref-Chauvenet.A.347_26-0">↑</a> William Chauvenet: A Manual of Spherical and Practical Astronomy. S. 565, siehe Literatur

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<li id="cite_note-27"><a href="#cite_ref-27">↑</a> Jean Meeus: Transits. Willmann-Bell, 1989, ISBN 0-943396-26-3

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<li id="cite_note-Chauvenet.A.357-28">↑ <a href="#cite_ref-Chauvenet.A.357_28-0">a</a> <a href="#cite_ref-Chauvenet.A.357_28-1">b</a> William Chauvenet: A Manual of Spherical and Practical Astronomy. S. 593–598, siehe Literatur

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<li id="cite_note-Seidelmann8.5-29"><a href="#cite_ref-Seidelmann8.5_29-0">↑</a> P. Kenneth Seidelmann: Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. S. 471, siehe Literatur

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<li id="cite_note-Seidelmann8.4-30">↑ <a href="#cite_ref-Seidelmann8.4_30-0">a</a> <a href="#cite_ref-Seidelmann8.4_30-1">b</a> <a href="#cite_ref-Seidelmann8.4_30-2">c</a> <a href="#cite_ref-Seidelmann8.4_30-3">d</a> <a href="#cite_ref-Seidelmann8.4_30-4">e</a> <a href="#cite_ref-Seidelmann8.4_30-5">f</a> P. Kenneth Seidelmann: Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. Seite 467–470.

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<li id="cite_note-Green18.2-31">↑ <a href="#cite_ref-Green18.2_31-0">a</a> <a href="#cite_ref-Green18.2_31-1">b</a> Robin M. Green: Spherical Astronomy. Seite 441f, siehe Literatur

</li>

<li id="cite_note-Seidelmann8.23-32"><a href="#cite_ref-Seidelmann8.23_32-0">↑</a> P. Kenneth Seidelmann: Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. Seite 428–431, siehe Literatur

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<li id="cite_note-Danjon-33"><a href="#cite_ref-Danjon_33-0">↑</a> A. Danjon: Les éclipses de Lune par la pénombre en 1951. In: L'Astronomie, 65, S. 51–53

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<li id="cite_note-MeeusMucke.XXIV-35"><a href="#cite_ref-MeeusMucke.XXIV_35-0">↑</a> J. Meeus, H. Mucke: Canon of Lunar Eclipses -2002 to +2526, Seite XXIV

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<li id="cite_note-Soulsby-36"><a href="#cite_ref-Soulsby_36-0">↑</a> Byron W. Soulsby: Improved Lunar Eclipse Ephemerides. In: Journal of the British Astronomical Association., 100, 1990, S. 293–305, <a href="Bibcode" title="Bibcode">bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1990JBAA..100..293S">1990JBAA..100..293S</a> (Volltext verfügbar / PDF; 2,0 MB)

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